Question

如图，斜率为1的直线过抛物线Ω：y 2 =2px（p＞0）的焦点F，与抛物线交于两点A，B，（1）若|AB|=8，求抛

如图，斜率为1的直线过抛物线Ω：y 2 =2px（p＞0）的焦点F，与抛物线交于两点A，B，（1）若|AB|=8，求抛物线Ω的方程；（2）设C为抛物线弧AB上的动点（不包括A，B两点），求△ABC的面积S的最大值；（3）设P是抛物线Ω上异于A，B的任意一点，直线PA，PB分别交抛物线的准线于M，N两点，证明M，N两点的纵坐标之积为定值（仅与p有关）

Answer 1

（1）设A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ）． ∵直线l斜率为1且过焦点F ( p 2 ，0) ，∴直线l的方程为 y=x- p 2 ． 联立 y=x- p 2 y 2 =2px ，消去y得到关于x的方程 x 2 -3px+ p 2 4 =0 ， 由题意，△=9p 2 -p 2 ＞0． 由根与系数的关系得x 1 +x 2 =3p， x 1 x 2 = p 2 4 ． 由抛物线的定义可得：|AB|=xx 1 +x 2 +p=4p，又|AB|=8，∴4p=8，∴p=2． 因此所求的抛物线方程为y 2 =4x． （2）由题意可知：当过点C的切线与AB平行时三角形ABC的面积最大， 设此切线为y=x+t，与抛物线方程联立得 y=x+t y 2 =2px ，消去y得到关于x的方程x 2 +（2t-2p）x+t 2 =0， ∴△=（2tt-2p） 2 -4t 2 =0，解得 t= p 2 ，∴切线为 y=x+ p 2 ． 因此切线与直线AB的距离d= |- p 2 - p 2 | 2 = 2 p 2 ． ∴△ABC的最大面积= 1 2 × 2 p 2 ×4p = 2 p 2 ． （3）设A ( y 1 2 2p ， y 1 ) ， B( y 2 2 2p ， y 2 ) ，P ( y 0 2 2p ， y 0 ) ． 则直线PA的方程为 y- y 0 = y 0 - y 1 y 0 2 2p - y 1 2 2p (x- y 0 2 2p ) ，化为 y- y 0 = 2p y 0 + y 1 (x- y 0 2 2p ) ， 令 x=- p 2 ，则y M = y 0 y 1 - p 2 y 0 + y 1 ， 同理可得 y N = y 0 y 2 - p 2 y 0 + y 2 ， ∴y M ?y N = y 0 2 y 1 y 2 - p 2 y 0 ( y 1 + y 2 )+ p 4 y 0 2 + y 0 ( y 1 + y 2 )+ y 1 y 2 ， 由（1）可得：y 2 -2py-p 2 =0， ∴y 1 +y 2 =2p， y 1 y 2 =- p 2 ． ∴y M ?y N = 推荐律师服务： 若未解决您的问题，请您详细描述您的问题，通过百度律临进行免费专业咨询 其他类似问题 2011-07-30 .已知抛物线y^2=2PX(P＞0).直线的斜率为-1，且过抛物线的焦点F，交抛物线于A,B两点，线段AB的长为3， 8 2010-10-30 已知抛物线y2=2px(p＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB中点纵坐标为2，则抛物... 378 2012-12-20 已知抛物线y^2=2px(p>0)的焦点，斜率为2√2的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)两点，且|AB|=9 15 2011-02-11 斜率为1的直线经过抛物线y^2=4x的焦点,且与抛物线相交于A,B两点,则绝对值AB等于____ 17 2013-12-31 斜率为1的直线l经过抛物线y^2=2px的焦点 ，且与抛物线交于A B两点。|AB|=8 求抛物线方程 6 2012-06-26 过抛物线y^2=2px(p>0)的焦点，且斜率为1的直线交抛物线于A、B，若|AB|=8，求抛物线方程 5 2012-12-11 已知过抛物线y^2=2px (p>0)的焦点，斜率为2√2的直线交抛物线于A（x1，y1)，B（x2，y2) (x1<x2)两点， 3 2013-07-24 斜率为1的直线l经过抛物线y2=2px（p>0）的焦点，且与抛物线交于A、B两点，| AB|=8，求抛物线方程 3 更多类似问题 > 为你推荐： 特别推荐 “网络厕所”会造成什么影响？ 华强北的二手手机是否靠谱？ 新生报道需要注意什么？ 癌症的治疗费用为何越来越高？ 百度律临—免费法律服务推荐 超3w专业律师，24H在线服务，平均3分钟回复 免费预约 随时在线 律师指导 专业律师 一对一沟通 完美完成 等你来答 换一换 帮助更多人 下载百度知道APP，抢鲜体验 使用百度知道APP，立即抢鲜体验。你的手机镜头里或许有别人想知道的答案。 扫描二维码下载 × 个人、企业类侵权投诉 违法有害信息,请在下方选择后提交 类别 色情低俗 涉嫌违法犯罪 时政信息不实 垃圾广告 低质灌水 我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。 说明 0/200 提交 取消 领取奖励 我的财富值 0 兑换商品 -- 去登录 我的现金 0 提现 下载百度知道APP 在APP端-任务中心提现 我知道了 -- 去登录 做任务开宝箱 累计完成 0 个任务 10任务 略略略略… 50任务 略略略略… 100任务 略略略略… 200任务 略略略略… 任务列表加载中... 新手帮助 如何答题 获取采纳 使用财富值 玩法介绍 知道商城 合伙人认证 您的账号状态正常 感谢您对我们的支持 投诉建议 意见反馈 账号申诉 非法信息举报 京ICP证030173号-1   京网文【2023】1034-029号     ©2025Baidu  使用百度前必读 | 知道协议 | 企业推广 辅 助 模 式 - y 0 2 p 2 -2 p 3 y 0 + p 4 y 0 2 +2p y 0 - p 2