Question

已知一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的四个侧面中，直角三角形的个数是（　　） A．4 B．3

已知一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的四个侧面中，直角三角形的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1

Answer 1

满足条件的四棱锥的底面为矩形，且一条侧棱与底面垂直， 画出满足条件的直观图如图 四棱锥P-ABCD所示， 不妨令PA⊥矩形ABCD， ∴PA⊥AB，PA⊥AD，PA⊥CB，PA⊥CD， 故△PAB 和△PAD都是直角三角形． 又矩形中 CB⊥AB，CD⊥AD． 这样CB垂直于平面PAB内的两条相交直线PA、AB， CD垂直于平面PAD内的两条相交直线 PA、AD， 由线面垂直的判定定理可得CB⊥平面PAB，CD⊥平面PAD， ∴CB⊥PB，CD⊥PD，故△PCB 和△PCD都是直角三角形． 故直角三角形有△PAB、△PAD、△PBC、△PCD共4个． 故选A．