Question

如图，直三棱柱ABC－A 1 B 1 C 1 中，D、E分别是棱BC、AB的中点，点F在棱CC 1 上，已知AB＝AC，AA 1 ＝3

如图，直三棱柱ABC－A 1 B 1 C 1 中，D、E分别是棱BC、AB的中点，点F在棱CC 1 上，已知AB＝AC，AA 1 ＝3，BC＝CF＝2. (1)求证：C 1 E∥平面ADF；(2)设点M在棱BB 1 上，当BM为何值时，平面CAM⊥平面ADF?

Answer 1

（1）见解析（2）当BM＝1时

(1)证明：连结CE交AD于O，连结OF. 因为CE，AD为△ABC中线，所以O为△ABC的重心， . 从而OF//C 1 E.OF 平面ADF，C 1 E 平面ADF，所以C 1 E∥平面ADF. (2)解：当BM＝1时，平面CAM⊥平面ADF. 在直三棱柱ABC－A 1 B 1 C 1 中，由于B 1 B⊥平面ABC，BB 1 平面B 1 BCC 1 ，所以平面B 1 BCC 1 ⊥平面ABC.由于AB＝AC，D是BC中点，所以AD⊥BC.又平面B 1 BCC 1 ∩平面ABC＝BC,所以AD⊥平面B 1 BCC 1 .而CM 平面B 1 BCC 1 ，于是AD⊥CM.因为BM＝CD＝1，BC＝CF＝2，所以Rt△CBM≌Rt△FCD，所以CM⊥DF.DF与AD相交，所以CM⊥平面ADF.CM⊥平面CAM，所以平面CAM⊥平面ADF.当BM＝1时，平面CAM⊥平面ADF.