(2000?河北)已知:如图,在△ABC中,D是BC边上的中点,且AD=AC,DE⊥BC,DE与AB相交于点E,EC与AD相交

(2000?河北)已知:如图,在△ABC中,D是BC边上的中点,且AD=AC,DE⊥BC,DE与AB相交于点E,EC与AD相交于点F.(1)求证:△ABC∽△FCD;(2... (2000?河北)已知:如图,在△ABC中,D是BC边上的中点,且AD=AC,DE⊥BC,DE与AB相交于点E,EC与AD相交于点F.(1)求证:△ABC∽△FCD;(2)若S△FCD=5,BC=10,求DE的长. 展开
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宮平专用0mF
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知道答主
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(1)证明:∵AD=AC,
∴∠ADC=∠ACD.
∵D是BC边上的中点,DE⊥BC,
∴EB=EC,
∴∠EBC=∠ECB.
∴△ABC∽△FCD;

(2)解:过A作AM⊥CD,垂足为M.
∵△ABC∽△FCD,BC=2CD,
S△FCD
S△ABC
(
CD
CB
)
2
(
1
2
)
2
=
1
4

∵S△FCD=5,
∴S△ABC=20.
又∵S△ABC=
1
2
×BC×AM,BC=10,
∴AM=4.
又DM=CM=
1
2
CD,DE∥AM,
∴DE:AM=BD:BM=
2
3

∴DE=
8
3
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