Question

如图已知AB是⊙O的直径，BC是弦，弦BD平分∠ABC交AC于F，弦DE⊥AB于H，交AC于G．①求证：AG=GD；②当∠AB

如图已知AB是⊙O的直径，BC是弦，弦BD平分∠ABC交AC于F，弦DE⊥AB于H，交AC于G．①求证：AG=GD；②当∠ABC满足什么条件时，△DFG是等边三角形？③若AB=10，sin∠ABD=35，求BC的长．

Answer 1

（1）证明：连接AD，
∵DE⊥AB，AB是⊙O的直径，
∴

AD

=

AE

，
∴∠ADE=∠ABD，
∵弦BD平分∠ABC，
∴∠DBC=∠ABD，
∵∠DBC=∠DAC，
∴∠ADE=∠DAC，
∴AG=GD；

（2）解：当∠ABC=60°时，△DFG是等边三角形．
理由：∵弦BD平分∠ABC，
∴∠DBC=∠ABD=30°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB=90°-∠ABC=30°，
∴∠DFG=∠FAB+∠DBA=60°，
∵DE⊥AB，
∴∠DGF=∠AGH=90°-∠CAB=60°，
∴△DGF是等边三角形；

（3）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=∠ACB=90°，
∵∠DAC=∠DBC=∠ABD，
∵AB=10，sin∠ABD=

3

5

，
∴在Rt△ABD中，AC=AB?sin∠ABD=6，
∴AD=

AB2?BD2

=8，
∴tan∠ABD=

AD

BD

=

3

4

，cos∠ABD=

BD

AB

=

4

5

，
在Rt△ADF中，DF=AD?tan∠DAF=AD?tan∠ABD=6×

3

4

=

9

2

，
∴BF=BD-DF=8-

9

2

=

7

2

，
∴在Rt△BCF中，BC=BF?cos∠DBC=BF?cos∠ABD=

7

2

×

4

5

=

14

5

．
∴BC的长为：

14

5

．