Question

设函数f（x）在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且f（0）f（1）＜0．求证：存在ξ∈（0，1），使得ξf′

设函数f（x）在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且f（0）f（1）＜0．求证：存在ξ∈（0，1），使得ξf′（ξ）+（2-ξ）f（ξ）=0．

Answer 1

令g（x）=x²e^-xf（x），则g（x）在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且
g′（x）=xe^-x[xf′（x）+（2-x）f（x）]．
因为f（0）f（1）＜0，
由连续函数的零点存在定理可得，?c∈（0，1）使得f（c）=0，
从而g（c）=0．
又因为g（0）=0，
故对函数g（x）在区间[0，c]上利用罗尔中值定理可得，
存在ξ∈（0，1），使得g′（ξ）=0，
即：ξe^-ξ[ξf′（ξ）+（2-ξ）f（ξ）]=0．
又因为ξe^-ξ≠0，
故ξf′（ξ）+（2-ξ）f（ξ）=0．