Question

已知关于x的函数f（x）=x2+2ax+b（其中a，b∈R）．（1）求函数|f（x）|的单调区间；（2）对于一切a∈[0，

已知关于x的函数f（x）=x2+2ax+b（其中a，b∈R）．（1）求函数|f（x）|的单调区间；（2）对于一切a∈[0，1]，若存在实数m，使得|f(m)| ≤ 14与|f(m+1)| ≤ 14能同时成立，求b-a的取值范围．

Answer 1

（1）∵f（x）=x²+2ax+b=（x+a）²+b-a²
∴①当a²-b≥0时，单调区间为：（-∞，-a]上为减，[-a，+∞）上为增；（2分）
②当a²-b＜0时，单调区间为：(?∞，?a?

?a2+b

)减，
(?a?

?a2+b

，?a)增，(?a，?a+

?a2+b

)减，(?a+

?a2+b

，+∞)增（5分）
（2）①当 ?

1

4

≤a2?b≤0时，由方程 x2+2ax+b＝

1

4

，解得 x1，2＝?a±

a2?b+ 1 4

，
此时 |x2?x1|＝2

a2?b+ 1 4

≤1，此时不满足存在实数m，使得|f(m)| ≤ 

1

4

与|f(m+1)| ≤ 

1

4

能同时成立．（8分）
②当

1

4

＞a2?b＞0时，由方程 x2+2ax+b＝

1

4

，解得 x1，2＝?a±

a2?b+ 1 4

此时 |x2?x1|＝2

a2?b+ 1 4

∈(1，

2

)，满足存在实数m，使得|f(m)| ≤ 

1

4

与|f(m+1)| ≤ 

1

4

能同时成立．（11分），此时有a2＞b＞a2?

1

4

，故a2?a＞b?a＞a2?a?

1

4

对一切a∈[0，1]都成立，由此解得b-a∈[-

1

2

，-

1

4

]
③当 a2?b≥

1

4

时，对一切a∈[0，1]，都不存在实数m，使得|f(m)| ≤ 

1

4

与|f(m+1)| ≤ 

1

4

能同时成立．
综上得b-a∈[-

1

2

，-

1

4

]（16分）