Question

已知函数f(x)＝ln(x+a)，g(x)＝16x3+b，直线l：y=x与y=f（x）的图象相切．（1）求实数a的值；（2）若方程

已知函数f(x)＝ln(x+a)，g(x)＝16x3+b，直线l：y=x与y=f（x）的图象相切．（1）求实数a的值；（2）若方程f（x）=g（x）在（0，+∞）上有且仅有两个解x1，x2．①求实数b的取值范围； ②比较x1x2+1与x1+x2的大小．

Answer 1

（1）设切点P（x₀，y₀）
∵f′(x)＝

1

x+a

，y=x与y=f（x）的图象相切
∴

1 x   0 +a ＝1 y   0 ＝ln( x   0 +a)＝ x   0

∴x₀=y₀=0    
∴a=1
（2）令h(x)＝g(x)?f(x)＝

1

6

x3?ln(x+1)+b
∵h′(x)＝

1

2

x2?

1

x+1

＝

(x?1)(x2+2x+2)

2(x+1)

  （x＞0）
由h'（x）＜0，得x∈（0，1），由h'（x）＞0，得x∈（1，+∞）
∴h（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增．
∴h（x）在x=1处取得极小值h（1）=

1

6

+b?ln2
①依题意，若方程f（x）=g（x）在（0，+∞）上有且仅有两个解x₁，x₂．
需：

h(1)＝ 1 6 +b?ln2＜0 h(0)＝b＞0 x→+∞时，h(x)＞0

解得0＜b＜ln2?

1

6

②∵h（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增．
∴h（x）=0的根一个在（0，1）内，一个在（1，+∞）内，
不妨设0＜x₁＜1，x₂＞1
∴x₁x₂+1-（x₁+x₂）=（x₁-1）（x₂-1）＜0
∴x₁x₂+1＜x₁+x₂．