Question

已知定义在R上的函数f（x）满足f（2-x）=f（x），且当x≥1时，f（x）=lg（x+1x）（1）求f（-1）的值；（2

已知定义在R上的函数f（x）满足f（2-x）=f（x），且当x≥1时，f（x）=lg（x+1x）（1）求f（-1）的值；（2）解不等式f（2-2x）＜f（x+3）；（3）若关于x的方程f（x）=lg（ax+2a）在（1，+∞）上有解，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）∵函数f（x）满足f（2-x）=f（x），且当x≥1时，f（x）=lg（x+

1

x

）
∴f(?1)＝f(3)＝lg

10

3

＝1?lg3
（2）函数f（x）满足f（2-x）=f（x），
∴f（x）图象关于直线x=1对称，且在（1，+∞）上单调递增
故原不等式可化为|2-2x-1|＜|x+3-1|，
即|2x-1|＜|x+2|，得x∈(?

1

3

，3)
（3）若关于x的方程f（x）=lg（

a

x

+2a）在（1，+∞）上有解，
即x²-2ax+1-a=0在（1，+∞）上有解
①在（1，+∞）上有两等根，即

△＝0 a＞1

，无解
②一根大于1，一根小于1，即1-2a+1-a＜0，得到a＞

2

3

③一根为1，则a＝

2

3

，解得另一根为

1

3

，不符
综上所述，a＞

2

3