Question

如图所示，Rt△ABC中，已知∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不能到达点B，C），过点D作∠ADE=45°，

如图所示，Rt△ABC中，已知∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不能到达点B，C），过点D作∠ADE=45°，DE交AC于点E．（1）求证：△ABD ∽ △DCE；（2）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．

Answer 1

（1）证明：Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2， ∴∠B=∠C=45°． ∵∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADC=∠ADE+∠EDC， ∴∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD． 又∵∠ADE=45°， ∴45°+∠EDC=45°+∠BAD． ∴∠EDC=∠BAD． ∴△ABD ∽ △DCE． （2）讨论：①若AD=AE时，∠DAE=90°，此时D点与点B重合，不合题意． ②若AD=DE时，△ABD与△DCE的相似比为1，此时△ABD≌△DCE， 于是AB=AC=2，BC=2 2 ，AE=AC-EC=2-BD=2-（2 2 -2）=4-2 2 ③若AE=DE，此时∠DAE=∠ADE=45°， 如下图所示易知AD⊥BC，DE⊥AC，且AD=DC．由等腰三角形的三线合一可知：AE=CE= 1 2 AC=1．