Question

已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若a、b∈[-1，1]，a+b≠0时，有 f(a)+f(b) a+

已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若a、b∈[-1，1]，a+b≠0时，有 f(a)+f(b) a+b ＞0．判断函数f（x）在[-1，1]上是增函数还是减函数，并证明你的结论．

Answer 1

任取x 1 、x 2 ∈[-1，1]，且x 1 ＜x 2 ，则-x 2 ∈[-1，1]．又f（x）是奇函数，于是 f（x 1 ）-f（x 2 ）=f（x 1 ）+f（-x 2 ） = f( x 1 )+f(- x 2 ) x 1 +(- x 2 ) ?（x 1 -x 2 ）． 据已知 f( x 1 )+f(- x 2 ) x 1 +(- x 2 ) ＞0，x 1 -x 2 ＜0， ∴f（x 1 ）-f（x 2 ）＜0，即f（x 1 ）＜f（x 2 ）． ∴f（x）在[-1，1]上是增函数．