Question

如图，AB是半圆O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点C，BD⊥PD，垂足为D，连接BC． （1）求证：BC平

如图，AB是半圆O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点C，BD⊥PD，垂足为D，连接BC． （1）求证：BC平分∠PDB；（2）求证：BC 2 =AB?BD；（3）若PA=6，PC=6 ，求BD的长．





Answer 1

解：（1）证明：连接OC， ∵PD为圆O的切线，∴OC⊥PD。 ∵BD⊥PD，∴OC∥BD。∴∠OCB=∠CBD。 ∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC。 ∴∠CBD=∠OBC，即BC平分∠PBD。 （2）证明：连接AC， ∵AB为圆O的直径，∴∠ACB=90°。 ∵∠ACB=∠CDB=90°，∠ABC=∠CBD，∴△ABC∽△CBD。 ∴ ，即BC 2 =AB?BD。 （3）∵PC为圆O的切线，PAB为割线，∴PC 2 =PA?PB，即72=6PB，解得：PB=12。 ∴AB=PB－PA=12－6=6。∴OC=3，PO=PA+AO=9。 ∵△OCP∽△BDP，∴ ，即 。 ∴BD=4。

（1）连接OC，由PD为圆O的切线，由切线的性质得到OC垂直于PD，由BD垂直于PD，得到OC与BD平行，利用两直线平行得到一对内错角相等，再由OC=OB，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换即可得证。 （2）连接AC，由AB为圆O的直径，利用直径所对的圆周角为直角得到△ABC为直角三角形，根据一对直角相等，以及（1）的结论得到一对角相等，确定出△ABC与△BCD相似，由相似得比例，变形即可得证。 （3）由切割线定理列出关系式，将PA，PC的长代入求出PB的长，由PB﹣PA求出AB的长，确定出圆的半径，由OC与BD平行得到△PCO与△DPB相似，由相似得比例，将OC，OP，以及PB的长代入即可求出BD的长。