Question

如图，已知∠ABC=90°，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），分别以AB、AP为边在∠ABC的内部作等边

如图，已知∠ABC=90°，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），分别以AB、AP为边在∠ABC的内部作等边△ABE和△APQ，连接QE并延长交BP于点F．试说明：（1）△ABP≌△AEQ；（2）EF=BF．

Answer 1

（1）∵△ABE和△APQ是等边三角形，
∴AB=AE，AP=AQ，∠BAE=∠PAQ=∠ABE=∠AEB=60°，
∴∠BAE-∠PAE=∠PAQ-∠PAE，
∴∠BAP=∠EAQ．
在△ABP和△AEQ中，

AB＝AE ∠BAP＝∠EAQ AP＝AQ

，
∴△QAE≌△PAB（SAS）；

（2）∵△QAE≌△PAB
∴∠ABP=∠AEQ=90°．
∴∠AEF=90°，
∴∠ABP=∠AEF
∴∠ABP-∠AEB=∠AEF-∠ABE，
∴∠BEF=∠EBF，
∴BF=EF．