Question

设x1，x2，…，x2008是整数，且满足下列条件：（1）-1≤xn≤2（n=1，2，…，2 008）；（2）x1+x2+…+x200

设x1，x2，…，x2008是整数，且满足下列条件：（1）-1≤xn≤2（n=1，2，…，2 008）；（2）x1+x2+…+x2008=200；（3）x12+x22+…+x20082=2 008．求x13+x23+…+x20083的最小值和最大值．

Answer 1

设x₁，x₂，…，x₂₀₀₈中有q个0，r个-1，s个1，t个2．（2分）
则

?r+s+2t＝200 r+s+4t＝2008

①（5分）
两式相加得s+3t=1104．故0≤t≤368．（10分）
由x₁³+x₂³+…+x₂₀₀₈³=-r+s+8t=6t+200，（12分）
得200≤x₁³+x₂³+…+x₂₀₀₈³≤6×368+200=2408．（15分）
由方程组①知：当t=0，s=1104，r=904时，
x₁³+x₂³+…+x₂₀₀₈³取最小值200；   （17分）
当t=368，s=0，r=536时，
x₁³+x₂³+…+x₂₀₀₈³取最大值2408．（20分）