如图，已知O是线段AB上一点，以OB为半径作半圆O交AB于点C，以线段AO为直径作弧OD交半圆O于点D，过点B作AB
如图，已知O是线段AB上一点，以OB为半径作半圆O交AB于点C，以线段AO为直径作弧OD交半圆O于点D，过点B作AB的垂线交AD的延长线于点E，若线段AO、OD的长是一元...
如图，已知O是线段AB上一点，以OB为半径作半圆O交AB于点C，以线段AO为直径作弧OD交半圆O于点D，过点B作AB的垂线交AD的延长线于点E，若线段AO、OD的长是一元二次方程x2-3x+2=0的两根．（1）求证：AE是⊙O的切线； （2）求线段EB的长； （3）求图中阴影部分的面积．
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（1）证明：∵以线段AO为直径作弧OD交圆O于点D，
∴∠ODA=90°，即AE⊥OD，
∴AE是⊙O的切线；
（2）解：∵x2-3x+2=0，
∴解方程：x1=1，x2=2，
∴OA=2，OD=1，
∴OC=OB=OD=1，
∴AB=3，
∵OD⊥AE，
∴AD=
，B=3，
∵BE⊥AC，BC为⊙O的直径，
∴BE为⊙O的切线，
设EB=x，
∴EB=ED=x，
∵BE2+AB2=AE2，
∴x2+9=（x+3）2，
∴x=
，
∴EB=
；
（3）解：连接CD，做CM⊥AD，
∵OA=2，OD=1，OD⊥AE，
∴∠A=30°，OC=AC=1，
∴CM=
，∠OCD=60°，
∴S△ACD=
＝
，
∵A线段AO为直径作弧OD交半圆O于点D，
∴S扇形COD=
=
＝
，
∵S阴影面积=S△ACD+S扇形COD，
∴S阴影面积=
+
＝
∴∠ODA=90°，即AE⊥OD，
∴AE是⊙O的切线；
（2）解：∵x2-3x+2=0，
∴解方程：x1=1，x2=2，
∴OA=2，OD=1，
∴OC=OB=OD=1，
∴AB=3，
∵OD⊥AE，
∴AD=
| 3 |
∵BE⊥AC，BC为⊙O的直径，
∴BE为⊙O的切线，
设EB=x，
∴EB=ED=x，
∵BE2+AB2=AE2，
∴x2+9=（x+3）2，
∴x=
| 3 |
∴EB=
| 3 |
（3）解：连接CD，做CM⊥AD，
∵OA=2，OD=1，OD⊥AE，
∴∠A=30°，OC=AC=1，
∴CM=
| 1 |
| 2 |
∴S△ACD=
| AD×CM |
| 2 |
| ||
| 4 |
∵A线段AO为直径作弧OD交半圆O于点D，
∴S扇形COD=
| nπR2 |
| 360 |
| 60×π×12 |
| 360 |
| π |
| 6 |
∵S阴影面积=S△ACD+S扇形COD，
∴S阴影面积=
| ||
| 4 |
| π |
| 6 |
3
|
