Question

已知圆A：x 2 ＋y 2 －2x－2y－2＝0.(1)若直线l：ax＋by－4＝0平分圆A的周长，求原点O到直线l的距离的最

已知圆A：x 2 ＋y 2 －2x－2y－2＝0.(1)若直线l：ax＋by－4＝0平分圆A的周长，求原点O到直线l的距离的最大值；(2)若圆B平分圆A的周长，圆心B在直线y＝2x上，求符合条件且半径最小的圆B的方程．

Answer 1

（1）      （2）(x－ ) 2 ＋(y－ ) 2 ＝

(1)圆A的方程即(x－1) 2 ＋(y－1) 2 ＝4，其圆心为A(1,1)，半径为r＝2. 由题意知直线l经过圆心A(1,1)，所以a＋b－4＝0，得b＝4－a. 原点O到直线l的距离d＝ . 因为a 2 ＋b 2 ＝a 2 ＋(4－a) 2 ＝2(a－2) 2 ＋8，所以当a＝2时，a 2 ＋b 2 取得最小值8. 故d的最大值为 ＝ . (2)由题意知圆B与圆A的相交弦为圆A的一条直径，它经过圆心A. 设圆B的圆心为B(a,2a)，半径为R.如图所示，在圆B中， 由垂径定理并结合图形可得：R 2 ＝2 2 ＋|AB| 2 ＝4＋(a－1) 2 ＋(2a－1) 2 ＝5(a－ ) 2 ＋ . 所以当a＝ 时，R 2 取得最小值 . 故符合条件且半径最小的圆B的方程为(x－ ) 2 ＋(y－ ) 2 ＝ .