Question

在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，AE=AB，过点E作直线EF，在EF上取一点G，使得∠EGB=∠EAB，连接AG．（1

在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，AE=AB，过点E作直线EF，在EF上取一点G，使得∠EGB=∠EAB，连接AG．（1）如图①，当EF与AB相交时，若∠EAB=60°，求证：EG=AG+BG；（2）如图②，当EF与CD相交时，且∠EAB=90°，请你写出线段EG、AG、BG之间的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

（1）证明：如图①，作∠GAH=∠EAB交GE于点H．
∴∠GAB=∠HAE．
∵∠EAB=∠EGB，∠APE=∠BPG，
∴∠ABG=∠AEH．
在△ABG和△AEH中，

∠GAB＝∠HAE AB＝AE ∠ABG＝∠AEH

，
∴△ABG≌△AEH（ASA）．
∴BG=EH，AG=AH．
∵∠GAH=∠EAB=60°，
∴△AGH是等边三角形．
∴AG=HG．
∴EG=AG+BG；

（2）EG=

2

AG-BG．
如图②，作∠GAH=∠EAB交GE于点H．
∴∠GAB=∠HAE．
∵∠EGB=∠EAB=90°，
∴∠ABG+∠AEG=∠AEG+∠AEH=180°．
∴∠ABG=∠AEH．
∵又AB=AE，
∴△ABG≌△AEH．
∴BG=EH，AG=AH．
∵∠GAH=∠EAB=90°，
∴△AGH是等腰直角三角形．
∴

2

AG=HG．
∴EG=

2

AG-BG．

Answer 2

(1)

如图，在EG上截取GH=GB，已知∠EGB=60°，故△BGH为等边三角形，

故，BG=BH，且，∠GBH=60°=∠ABG+∠ABH，

又，已知AB=AE，且∠EAB=60°，故△ABE为等边三角形，

故，AB=BE，∠ABE=60°=∠EBH+∠ABH，

故还有∠ABG=∠EBH，所以△ABG≌△EBH，所以，HE=AG

所以，EG=GH+HE=AG+BG