Question

已知函数f（x）=x3-ax3+bx+c（a，b，c∈R），若函数f（x）在x=-1和x=3时取得极值（1）求a，b（2）当x∈[-

已知函数f（x）=x3-ax3+bx+c（a，b，c∈R），若函数f（x）在x=-1和x=3时取得极值（1）求a，b（2）当x∈[-2，6]时，f（x）＜2|c|恒成立，求c的取值范围．

Answer 1

（1）∵函数f（x）在x=-1和x=3时取极值，∴-1，3是方程3x²-2ax+b=0的两根，
∴

?1+3＝ 2 3 a ?1×3＝ b 3

，∴

a＝3 b＝?9

（2）f（x）=x³-3x²-9x+c，f′（x）=3x²-6x-9，当x变化时，有下表

x	（-∞，-1）	-1	（-1，3）	3	（3，+∞）
f’（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	Max c+5	↘	Min c-27	↗

而f（-2）=c-2，f（6）=c+54，∴x∈[-2，6]时f（x）的最大值为c+54
要使f（x）＜2|c|恒成立，只要c+54＜2|c|即可
当c≥0时，c+54＜2c，∴c＞54，当c＜0时，c+54＜-2c，∴c＜-18
∴c∈（-∞，-18）∪（54，+∞）