Question

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），两个焦点分别为F1和F2，斜率为k的直线l过右焦点F2且与椭圆交于A、B

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），两个焦点分别为F1和F2，斜率为k的直线l过右焦点F2且与椭圆交于A、B两点，设l与y轴交点为P，线段PF2的中点恰为B．若|k|≤255，求椭圆C的离心率的取值范围．

Answer 1

设椭圆离心率为e，设F₂的坐标为（c，0），其中c²=a²-b²，
设l的方程为y=kx+m，则l与y轴的交点为（0，m），m=-kc，
所以B点的坐标为（

c

2

，-

kc

2

），将B点坐标代入椭圆方程得

c2

a2

+

c2

b2

?k²=4，即e²+

k2

1 e2 ?1

=4，
所以k²=（4-e²）?（

1

e2

-1）≤

4

5

，即5e⁴-29e²+20≤0，解之可得，

4

5

≤e²≤5，
又有椭圆的性质，所以

2 5

5

≤e＜1，
因此椭圆C的离心率取值范围为[

2 5

5

，1）．