定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）=f（x+4），当x∈[6，8]时，f（x）=cos（x-6）（1）求x∈[-2，2]时，f
定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）=f（x+4），当x∈[6，8]时，f（x）=cos（x-6）（1）求x∈[-2，2]时，f（x）的表达式；（2）若f(sinθ+c...
定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）=f（x+4），当x∈[6，8]时，f（x）=cos（x-6）（1）求x∈[-2，2]时，f（x）的表达式；（2）若f(sinθ+cosθ)＞f(1+2sin2θ)(θ∈R)，求θ的取值范围．
展开
1个回答
展开全部
（1）设x∈[-2，0]，则x+8∈[6，8]，
∴f（x+8）=cos（x+2）
∵f（x）=f（x+4），
∴f（x+8）=f（x+4）=f（x）
∴x∈[-2，0]时，f（x）=cos（x+2）
设x∈（0，2]，则-x∈[-2，0），
∴f（-x）=cos（-x+2）
∵f（x）为偶函数，
∴f（-x）=f（x）
∴x∈（0，2]时，f（x）=cos（-x+2）
∴f（x）=
（2）∵-2＜sinθ+cosθ＜2，?2＜
＜2
且由（1）知f（x）在[-2，0）上为减函数，在（0，2）上为增函数，函数图象关于y轴对称
∴f(sinθ+cosθ)＞f(
)(θ∈R)
?|sinθ+cosθ|＜|
|
?（sinθ+cosθ）2＜1+2sin2θ
?1+sin2θ＜1+1-cos2θ
?sin2θ+cos2θ＜1
?
sin（2θ+
）＜1
?sin（2θ+
）＜
∴f（x+8）=cos（x+2）
∵f（x）=f（x+4），
∴f（x+8）=f（x+4）=f（x）
∴x∈[-2，0]时，f（x）=cos（x+2）
设x∈（0，2]，则-x∈[-2，0），
∴f（-x）=cos（-x+2）
∵f（x）为偶函数，
∴f（-x）=f（x）
∴x∈（0，2]时，f（x）=cos（-x+2）
∴f（x）=
|
（2）∵-2＜sinθ+cosθ＜2，?2＜
| 1+2sin2θ |
且由（1）知f（x）在[-2，0）上为减函数，在（0，2）上为增函数，函数图象关于y轴对称
∴f(sinθ+cosθ)＞f(
| 1+2sin2θ |
?|sinθ+cosθ|＜|
| 1+2sin2θ |
?（sinθ+cosθ）2＜1+2sin2θ
?1+sin2θ＜1+1-cos2θ
?sin2θ+cos2θ＜1
?
| 2 |
| π |
| 4 |
?sin（2θ+
| π |
| 4 |
|
