Question

已知二次函数f（x）=ax2+x（a∈R）．（1）当0＜a＜12时，f（sinx）（x∈R）的最大值为54，求f（x）的最小

已知二次函数f（x）=ax2+x（a∈R）．（1）当0＜a＜12时，f（sinx）（x∈R）的最大值为54，求f（x）的最小值．（2）对于任意的x∈R，总有|f（sinxcosx）|≤1．试求a的取值范围．（3）若当n∈N*时，记ni＝1ai＝a1+a2+a3+…+an，令a=1，求证：1＜3ni＝nif(i)＜2成立．





Answer 1

（1）由0＜a＜

1

2

，
知?

1

2a

＜?1，
故当sinx=1时，
f（x）取得最大值为

5

4

，
即f(1)＝a+1＝

5

4

，
∴a＝

1

4

∴f(x)＝

1

4

x2+x＝

1

4

(x+2)2?1，
所以f（x）的最小值为-1；（5分）
（2）∵对于任意的x∈R，
总有|f（sinxcosx）|≤1，
令t＝sinxcosx＝

1

2

sin2x∈[?

1

2

，

1

2

]，
则命题转化为?t∈[?

1

2

，

1

2

]，
不等式|f（t）|≤1恒成立
当t=0时，f（t）=0使|f（t）|≤1成立； （7分）
当t≠0时，有

a≤ 1 t2 ? 1 t ＝( 1 t ? 1 2 )2? 1 4 a≥? 1 t2 ? 1 t ＝?( 1 t + 1 2 )2+ 1 4

，
对于任意的t∈[?

1

2

，0)∪(0，

1

2

]恒成立；
∵t∈[?

1

2

，0)∪(0，

1

2

]∴

1

t

≥2或

1

t

≤?2，
则(

1

t

?

1

2

)2?

1

4

≥2，
故要使①式成立，
则有a≤2，
又?(

1

t

+

1

2

)2+

1

4

≤?2，
故要使②式成立，
则有a≥-2，由题a≠0．
综上，a∈[-2，0）∪（0，2]为所求．（10分）
证明：（3）由题意，

3n

i＝n

i

f(i)

＝

3n

i＝n

1

i+1

＝

1

n+1

+

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

3n+1

令g(n)＝

1

n+1

+

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

3n+1

则g(n+1)＝

1

n+2

+

1

n+3

+

1

n+4

+…+

1

3n+4

，
g(n+1)?g(n)＝

1

3n+4

+

1

3n+3

+

1

3n+2

?

1

n+1

＝…＞0
∴g（n）在n∈N^*时单调递增，
∴g(n)≥g(1)＝

13

12

＞1（13分）
又

1

n+1

＞

1

n+2

＞

1

n+3

＞…＞

1

3n+1

，
∴g(n)＜

1

n+1

(2n+1)＜2
综上，原结论成立．（16分）