Question

如图1，在平面直角坐标系中，直线l：y＝?34x?32沿x轴翻折后，与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝23(x

如图1，在平面直角坐标系中，直线l：y＝?34x?32沿x轴翻折后，与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝23(x?h)2与y轴交于点D，与直线AB交于点E、点F（点F在点E的右侧）．（1）求直线AB的解析式；（2）若线段DF∥x轴，求抛物线的解析式；（3）如图2，在（2）的条件下，过F作FH⊥x轴于点G，与直线l交于点H，在抛物线上是否存在P、Q两点（点P在点Q的上方），PQ与AF交于点M，与FH交于点N，使得直线PQ既平分△AFH的周长，又平分△AFH面积，如果存在，求出P、Q的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

解答：（1）解：设直线AB的解析式为y=kx+b
直线y＝?

3

4

x?

3

2

与x轴、y轴交点分别为（-2，0），（0，?

3

2

），
沿x轴翻折，
∵直线y＝?

3

4

x?

3

2

，
直线AB与x轴交于同一点（-2，0）
∴A（-2，0）．与y轴的交点（0，?

3

2

）与点B关于x轴对称
∴B（0，

3

2

），
∴

?2k+b＝0 b＝ 3 2 .

解得k＝

3

4

，b＝

3

2

，
∴直线AB的解析式为 y＝

3

4

x+

3

2

．
答：直线AB的解析式为 y＝

3

4

x+

3

2

．

（2）解：设抛物线的顶点为Q（h，0），
抛物线解析式为：y＝

2

3

(x?h)2=

2

3

x2?

4

3

hx+

2

3

h2，
∴D（0，

2

3

h2 ）．
∵DF∥x轴，
∴点F（2h，

2

3

h2 ），
又点F在直线AB上，∴

2

3

h2＝

3

4

?(2h)+

3

2

，
解得 h₁=3，h2＝

?3

4

（舍去），
∴抛物线的解析式为y＝

2

3

(x?3)2＝

2

3

x2?4x+6，
答：抛物线的解析式为y=

2

3

x²-4x+6．

（3）解：过M作MT⊥FH于T，
∴Rt△MTF∽Rt△AGF．
∴FT：TM：FM=FG：GA：FA=3：4：5，
设FT=3k，TM=4k，FM=5k，
则FN=

1

2

(AH+HF+AF)-FM=16-5k，
∴S△MNF＝

1

2

FN?MT＝

(16?5k)4k

2

，
∵S△AFH＝

1

2

FH?AG＝

1

2

×12×8=48，
又∵S△MNF＝

1

2

S△AFH．
∴

(16?5k)4k

2

＝24，
解得k＝

6

5

或k=2 （舍去），
∴FM=6，FT=

18

5

，MT=

24

5

，GN=4，TG=

12

5

，
∴M（

6

5

，

12

5

）、N（6，-4），
∴设直线MN的解析式为：y=kx+b，
把M（

6

5

，

12

5

）、N（6，-4），代入得：

12

5

=

6

5

k+b且-4=6k+b，
解得：k=-

4

3

，b=4，
∴y＝?

4

3

x+4，
联立y＝?

4

3

x+4 与y＝

2

3

x2?4x+6，
求得P（1，

8

3

），Q（3，0）．
答：存在P的坐标是（1，

8

3

），Q的坐标是（3，0）．