Question

如图所示，质量为m=0.2kg的小球（可视为质点）从水平桌面左端点A以初速度v0水平抛出，桌面右侧有一竖直放

如图所示，质量为m=0.2kg的小球（可视为质点）从水平桌面左端点A以初速度v0水平抛出，桌面右侧有一竖直放置的光滑轨道MNP，其形状为半径R=0.8m的圆环剪去了左上角135°的圆弧，MN为其竖直直径．P点到桌面的竖直距离也为R．小球飞离桌面后恰由P点无碰撞地落入圆轨道，g=10m/s2，求：（1）小球在A点的初速度v0及AP间水平距离x；（2）小球到达圆轨道最低点N时对N点的压力；（3）判断小球能否到达圆轨道最高点M．

Answer 1

（1）物块由A点做平抛运动，在P点恰好沿圆轨道的切线进入轨道，则物块在P点的竖直分速度为：v_y=v₀tan45°= v₀
由平抛运动规律得：R=

vy

2

t，x=v₀t
代入数据解得：v₀ =4 m/s ， x=1.6m．
（2）物块在P点的速度为：v＝

v 2 0 + v 2 y

=4

2

 m/s
物块从P点到N点，由动能定理得：mgR（1-cos45°）=

1

2

m

v

2 N

?

1

2

m

v

2

 物块在N点，由牛顿第二定律得：FN?mg＝m

v 2 N

R

 代入数据解得物块所受支持力为：F_N=9.17N
由牛顿第三定律得，物块对N点的压力为F'_N=9.17 N，方向竖直向下．
 （3）假设小球能够到达M点，由功能关系得：mgR（1+cos45°）=

1

2

m

v

2

?

1

2

mv

′

2

 代入数据解得：v′＝

16?8 2

m/s
小球能够完成圆周运动，在M点须有：mg≤m

v 2 M

R

，
即：vM≥

gR

＝

8

m/s，由v'＜v_M
知，小球不能到达圆轨道最高点M．
答：（1）小球在A点的初速度是4m/s，AP间水平距离是1.6m；
（2）小球到达圆轨道最低点N时对N点的压力是9.17N；
（3）小球不能到达圆轨道最高点M．