Question

函数y=根号sinx+根号cosx，求函数的值域需要过程

Answer 1

y=√sinx+√cosx x∈[2kπ, 2kπ+π/2]
y'=1/2*cosx/√sinx-1/2*sinx/√cosx
=1/2[(cosx)^(3/2)-(sinx)^(3/2)]/√(sinxcosx)
令y'=0 得 x=π/4
f(π/4)=2√(√2/2) =2^(3/4) f(2kπ)=f(2kπ+π/2)=1
max(y)=2^(3/4) min(y)=1
∴ 函数的值域: [1, 2^(3/4)]

Answer 2

解:由已知函数的定义域A={x|2kπ≤x≤2kπ+π/2,k∈Z}
值域C={y|y=(√sinx)+(√cosx),x∈A}
={y|y=√((sinx+cosx)+2√(sinxcosx)),x∈A}
={y|y=√(t+√(2t^2-2)),t∈[1,√2]} (注1）
=[√(1+√(2*1^2-2)),√(√2+√(2(√2)^2-2))] (注2)
=[1,√(2√2)]
注1:设t=sinx+cosx,则t=√2sin(x+π/4)∈[1,√2]
sinxcosx=(t^2-1)/2
注2:y=√(t+√(2t^2-2)) 在[1,+∞)上单增。