Question

如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点O是斜边AB上一动点，以OA为半径作⊙O与AC边交于点P， 小

如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点O是斜边AB上一动点，以OA为半径作⊙O与AC边交于点P， 小题1:当OA= 时，求点O到BC的距离小题2:如图2，当OA= 时，求证：直线BC与⊙O相切；此时线段AP的长是多少？ 小题3:若BC边与⊙O有公共点，直接写出 OA的取值范围；小题4:若CO平分∠ACB，则线段AP的长是多少？

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Answer 1

小题1:解：在Rt△ABE中， ．  ……………  1分 过点O作OD⊥BC于点D，则OD∥AC， ∴△ODB∽△ACB， ∴ ，  ∴ ，  ∴ ， ∴点O到BC的距离为 ．     …………………………………………………    3分 小题2:证明：过点O作OE⊥BC于点E， OF⊥AC于点F， ∵△OEB∽△ACB， ∴  ∴ ，  ∴ ． ∴直线BC与⊙O相切．        ………………………………………………… 5分 此时，四边形OECF为矩形， ∴AF=AC-FC=3- = ， ∵OF⊥AC， ∴AP=2AF= ．                …………………………………………………   7分 小题3: ；            …………………………………………………  9分 小题4:点O作OG⊥AC于点G， OH⊥BC于点H， 则四边形OGCH是矩形，且AP=2AG， 又∵CO平分∠ACB，∴OG=OH，∴矩形OGCH是正方形． ………………… 10分 设正方形OGCH的边长为x，则AG=3-x， ∵OG∥BC， ∵△AOG∽△ABC，  ∴ ， ∴  ， ∴ ， ∴ ， ∴AP=2AG= ．              …………………………………………………    12分

略