Question

（理科做）设 f(n)=1+ 1 2 + 1 3 +…+ 1 n ，用数学归纳法证明：当n≥2，n

（理科做）设 f(n)=1+ 1 2 + 1 3 +…+ 1 n ，用数学归纳法证明：当n≥2，n∈N * 时，n+f（1）+f（2）+…+f（n-1）=nf（n）．

Answer 1

1 0 、当n=2时，等式左边=2+f（1）=2+1=3 等式右边= 2f(2)=2(1+ 1 2 )=3 ，∴原式成立；…（4分） 2 0 、假设n=k（k≥2）成立，即k+f（1）+f（2）+…+f（k-1）=kf（k）…（6分） ∵ f(n)=1+ 1 2 + 1 3 +…+ 1 n ，∴ f(n+1)=f(n)+ 1 n+1 （这步可置于后）…（8分） 则当n=k+1时， 等式左边=（k+1）+f（1）+f（2）+…+f（k-1）+f（k） =k+f（1）+f（2）+…+f（k-1）+f（k）=kf（k）+f（k）+1…（10分） = (k+1)f(k)+1=(k+1)[f(k)+ 1 k+1 ]=(k+1)f(k+1) 即当n=k+1时，等式也成立．…（12分） 综上1 0 ，2 0 可得当n≥2，n∈N * 时，n+f（1）+f（2）+…+f（n-1）=nf（n）均成立 …（14分）