Question

已知函数 f(x)= -x-1(x＜-2) x+3(-2≤x≤ 1 2 ) 5x+1(x＞ 1 2

已知函数 f(x)= -x-1(x＜-2) x+3(-2≤x≤ 1 2 ) 5x+1(x＞ 1 2 ) （x∈R），（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）已知m∈R，命题p：关于x的不等式f（x）≥m 2 +2m-2对任意x∈R恒成立；命题q：函数y=（m 2 -1） x 是增函数．若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）因为函数已知函数 f(x)= -x-1(x＜-2) x+3(-2≤x≤ 1 2 ) 5x+1(x＞ 1 2 ) （x∈R）， 当x＜-2时，f（x）∈（1，+∞）；当 -2≤x≤ 1 2 时，f（x） ∈[1， 7 2 ] ；当x＞ 1 2 时，f（x）∈ ( 7 2 ，+∞) 所以函数的值域为[1，+∞），最小值为1． （Ⅱ）由（Ⅰ）得m 2 +2m-2≤1， 即m 2 +2m-3≤0，解得-3≤m≤1， 所以命题p：-3≤m≤1． 对于命题q，函数y=（m 2 -1） x 是增函数，则m 2 -1＞1，即m 2 ＞2， 所以命题q： m＜- 2 或 m＞ 2 由“p或q”为真，“p且q”为假可知有以下两个情形： 若p真q假，则 -3≤m≤1 - 2 ≤m≤ 2 解得： - 2 ≤m≤1 ， 若p假q真，则 m＜-3或m＞1 m＜- 2 或m＞ 2 解得：m＜-3，或m＞ 2 ． 故实数m的取值范围是 (-∞，-3)∪[- 2 ，1]∪( 2 ，+∞) ．