Question

已知函数f（x）=xlnx．（1）求函数y=f（x）的单调区间；（2）是否存在正数x1，x2，且|x1-x2|≥1，使得f（

已知函数f（x）=xlnx．（1）求函数y=f（x）的单调区间；（2）是否存在正数x1，x2，且|x1-x2|≥1，使得f（x1）=f（x2）．若存在，求出x1，x2的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）∵f（x）=xlnx，定义域为（0，+∞），
∴f′（x）=lnx+1，
∴由f′（x）＞0得，x＞

1

e

，由f′（x）＜0得，0＜x＜

1

e

，
∴f（x）=xlnx的单调递增区间是（

1

e

，+∞），单调递减区间是（0，

1

e

）．
（2）不存在．
假设存在正数x₁，x₂，且|x₁-x₂|≥1，使得f（x₁）=f（x₂），不妨令x₁＜x₂，则由f（x₁）=f（x₂）得，
x₁lnx₁=x₂lnx₂，即x₂lnx₂-x₁lnx₁=0，
∴x₂（lnx₂-lnx₁）＜0，即ln

x2

x1

＜0，
∴

x2

x1

＜1，即x₂＜x₁，这与|x₁-x₂|≥1相矛盾，
故不存在正数x₁，x₂，且|x₁-x₂|≥1，使得f（x₁）=f（x₂）．