Question

如图所示，已知⊙O1与⊙O2切于点P，外公切线AB与连心线O1O2相交于点C，A、B是切点，D是AP延长线上的点，

如图所示，已知⊙O1与⊙O2切于点P，外公切线AB与连心线O1O2相交于点C，A、B是切点，D是AP延长线上的点，满足APAB＝ACAD＝45．求：（1）cosD；（2）S⊙O1：S⊙O2的值．

Answer 1

解：（1）过P作两圆的内公切线交AB于Q，连接PB．
∵AB是两圆的外公切线，
∴QA=QP=QB，
∴∠APB=90°
∵

AP

AB

＝

AC

AD

，即

AD

AB

＝

AC

AP

，∠CAD＝∠PAB，
∴△CAD∽△PAB，
∴∠ACD=∠APB=90°，
在Rt△ACD中，令AC=4t，AD=5t，则CD=3t，
∴cosD＝

CD

AD

＝

3

5

，
答：cosD=

3

5

．

（2）解：在Rt△APB中，设AP=8a，AB=10a，则PB=6a．
作O₁E⊥AP于E，O₂F⊥BP于F，
则EP＝

1

2

AP＝4a，FP=3a，
在Rt△PO₂F中，∠FO₂P=∠D，∠PFO₂=∠ACD=90°，
∴△PFO₂∽△ACD，
∴

FO2

PF

＝

CD

CA

＝

3

4

，
∵PF=3a，
∴FO₂=

9

4

a，
又O₁E∥PF，∠EO₁P=∠FPO₂，
∴△EO₁P∽△FPO₂，
∴

O1P

O2P

＝

PE

O2F

＝

4a

9 4 a

＝

16

9

，
∴

S⊙o1

S⊙o2

＝(

o1P

o2P

)2＝

256

81

，
答：S⊙O1：S⊙O2的值是

256

81

．