已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax2+1．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）设a≤-2，证明：对任意x1，x2∈
已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax2+1．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）设a≤-2，证明：对任意x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）-f（x2）|≥4|x...
已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax2+1．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）设a≤-2，证明：对任意x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）-f（x2）|≥4|x1-x2|．
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（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)=
+2ax=
．
当a≥0时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）单调增加；
当a≤-1时，f′（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）单调减少；
当-1＜a＜0时，令f′（x）=0，解得x=
．当x∈（0，
）时，f′（x）＞0；
x∈（
，+∞）时，f′（x）＜0，
故f（x）在（0，
）单调增加，在（
，+∞）单调减少．
（Ⅱ）不妨假设x1≤x2．由于a≤-2，故f（x）在（0，+∞）单调递减．
所以|f（x1）-f（x2）|≥4|x1-x2|等价于f（x1）-f（x2）≥4x2-4x1，
即f（x2）+4x2≤f（x1）+4x1．
令g（x）=f（x）+4x，则g′(x)=
+2ax+4=
．
于是g′（x）≤
=
≤0．
从而g（x）在（0，+∞）单调减少，故g（x1）≥g（x2），
即f（x1）+4x1≥f（x2）+4x2，故对任意x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）-f（x2）|≥4|x1-x2|．
| a+1 |
| x |
| 2ax2+a+1 |
| x |
当a≥0时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）单调增加；
当a≤-1时，f′（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）单调减少；
当-1＜a＜0时，令f′（x）=0，解得x=
-
|
-
|
x∈（
-
|
故f（x）在（0，
-
|
-
|
（Ⅱ）不妨假设x1≤x2．由于a≤-2，故f（x）在（0，+∞）单调递减．
所以|f（x1）-f（x2）|≥4|x1-x2|等价于f（x1）-f（x2）≥4x2-4x1，
即f（x2）+4x2≤f（x1）+4x1．
令g（x）=f（x）+4x，则g′(x)=
| a+1 |
| x |
| 2ax2+4x+a+1 |
| x |
于是g′（x）≤
| -4x2+4x-1 |
| x |
| -(2x-1)2 |
| x |
从而g（x）在（0，+∞）单调减少，故g（x1）≥g（x2），
即f（x1）+4x1≥f（x2）+4x2，故对任意x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）-f（x2）|≥4|x1-x2|．
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