Question

设函数f（x）=x-m（x+1）ln（x+1），（x＞-1，m≥0）（1）求f（x）的单调区间；（2）当m=1时，若直线y=t

设函数f（x）=x-m（x+1）ln（x+1），（x＞-1，m≥0）（1）求f（x）的单调区间；（2）当m=1时，若直线y=t与函数f（x）在[?12，1]上的图象有两个交点，求实数t的取值范围；（3）证明：当a＞b＞0时，（1+a）b＜（1+b）a．

Answer 1

（1）f'（x）=1-mln（x+1）-m
=1 ①m=0时，f'（x）=1＞0，
∴f（x）在定义域（-1，+∞）是增函数（2分）
=2 ②m＞0时，令f'（x）＞0得mln（x+1）＜1-m，∴?1＜x＜e

1?m

m

?1
∴f（x）在[?1，e

1?m

m

?1]上单调递增，在[e

1?m

m

?1，+∞)上单调递减（4分）
（2）直线y=t与函数f（x）在[?

1

2

，1]上的图象有两个交点等价于方程f（x）=t在[?

1

2

，1]上有两个实数解（5分）
由（I）知，f（x）在[?

1

2

，0]上单调递增，在[0，1]上单调递减．
又f(0)＝0，f(1)＝1?ln4，f(?

1

2

)＝?

1

2

+

1

2

ln2，且f(1)＜f(?

1

2

)（7分）
∴当t∈[?

1

2

+

1

2

ln2，0)时，方程f（x）=t有两个不同解，
即直线y=t与函数f（x）在[?

1

2

，1]上的图象有两个交点（8分）
（3）要证：（1+a）^b＜（1+b）^a
只需证bln（1+a）＜aln（1+b），只需证：

ln(1+a)

a

＜

ln(1+b)

b

（10分）
设g(x)＝

ln(1+x)

x

，(x＞0)则g′(x)＝

x 1+x ?ln(1+x)

x2

＝

x?(1+x)ln(1+x)

x2(1+x)

．（12分）
由（I）知x-（1+x）ln（1+x）在（0，+∞）单调递减，∴x-（1+x）ln（1+x）＜0即g（x）是减函数，而a＞b
∴g（a）＜g（b），故原不等式成立（14分）