Question

如图，在矩形ABCD中，AD=4cm，AB=m（m＞4），点P是AB边上的任意一点（不与点A、B重合），连接PD，过点P作

如图，在矩形ABCD中，AD=4cm，AB=m（m＞4），点P是AB边上的任意一点（不与点A、B重合），连接PD，过点P作PQ⊥PD，交直线BC于点Q。 （1）当m=10时，是否存在点P使得点Q与点C重合？若存在，求出此时AP的长；若不存在，说明理由；（2）连接AC，若PQ∥AC，求线段BQ的长（用含m的代数式表示）；（3）若△PQD为等腰三角形，求以P、Q、C、D为顶点的四边形的面积S与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围。

Answer 1

解：（1）存在点P。假设存在一点P，使点Q与点C重合，如图所示， 设AP的长为x，则BP=10-x， 在Rt△APD中，DP 2 =AD 2 +AP 2 ，即DP 2 =4 2 +x 2 ， 在Rt△PBC中，PC 2 =BC 2 +PB 2 ，即DP 2 =4 2 +（10-x） 2 ， 在Rt△PCD中，CD 2 =DP 2 +PC 2 ，即10 2 =4 2 +x 2 +4 2 +（10-x） 2 ， 解得x=2或8， 故当m=10时，存在点P使得点Q与点C重合，此时AP=2或8；
（2）连接AC，设BP=x，则AP=m-x， ∵PQ∥AC， ∴△PBQ∽△ABC ∴ ，即 ①， ∵DP⊥PQ， ∴∠APD+∠BPQ=90°， ∵∠APD+∠ADP=90°，∠BPQ+∠PQB=90°， ∴∠APD=∠BQP， ∴△APD∽△BQP， ∴ ，即 ②， ①②联立得，BQ= ；
（3）连接DQ，设AP=x，由（1）知 在Rt△APD中，DP 2 =AD 2 +AP 2 ，即DP 2 =4 2 +x 2 ， 在Rt△PBC中，PC 2 =BC 2 +PB 2 ，即DP 2 =4 2 +（m-x） 2 。 若△PQD为等腰三角形，则4 2 +x 2 =4 2 +（m-x） 2 ， 解得 ， ∵BQ= ， ∴CQ=4- ， ∴S 四边形DPQC =S △DPQ +S △DCQ = 。