Question

已知A、B、C、D是⊙O上的四点， CD = BD ，AC是四边形ABCD的对角线（1）如图1

已知A、B、C、D是⊙O上的四点， CD = BD ，AC是四边形ABCD的对角线（1）如图1，连结BD，若∠CDB=60°，求证：AC是∠DAB的平分线；（2）如图2，过点D作DE⊥AC，垂足为E，若AC=7，AB=5，求线段AE的长度．

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Answer 1

（1）证明：∵ CD = BD ， ∴CD=BD， ∵∠CDB=60°， ∴△BCD是等边三角形， ∴ CD = BC ， ∴∠CAD=∠BAC，即AC是∠DAB的平分线； （2）连接BD，在线段CE上取点F，使得EF=AE，连接DF， ∵DE⊥AC， ∴DF=DA， ∴∠DFE=∠DAE， ∵ CD = BD ， ∴CD=BD，∠DAC=∠DCB， ∴∠DFE=∠DCB， ∵四边形ABCD是圆的内接四边形， ∴∠DAB+∠DCB=180°， ∵∠DFC+∠DFE=180°， ∴∠DFC=∠DAB， ∵在△CDF和△BDA中， ∠DFC=∠DAB ∠DCF=∠DBA CD=BD ∴△CDF≌△BDA（AAS）， ∴CF=AB=5， ∵AC=7，AB=5， ∴AE= 1 2 AF= 1 2 （AC-CF）=1．