Question

如图，在长方体ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中，AB=4，BC=3，CC 1 =2，求平面A 1 BC 1 与ACD 1 的距离

如图，在长方体ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中，AB=4，BC=3，CC 1 =2，求平面A 1 BC 1 与ACD 1 的距离．

Answer 1

∵BC 1 ∥ AD 1 ，AD 1 ?平面ACD 1 ∴BC 1 ∥ 平面ACD 1 ， 同理A 1 B ∥ 平面ACD 1 ，A 1 B∩BC 1 =B， ∴平面A 1 BC 1 ∥ 平面ACD 1 建立如图直角坐标系， ∵AB=4，BC=3，CC 1 =2，A 1 =（3，0，2），B（3，4，0），C 1 （0，4，2） ∴ A 1 B =(0，4，-2)， BC 1 =(-3，0，2) ， 设 n (x，y，z) 为平面A 1 BC 1 的法向量， 则 n ⊥ A 1 B ? n ? A 1 B  =0 ?4y-2z=0， n ⊥ BC 1 ? n ? BC 1 =0 ?-3x+2z=0， 不妨设 z=1， ∴ y= 1 2 ，x= 2 3 ， ∴ n =( 2 3 ， 1 2 ，1) 设两平行平面间的距离为d 则d 等于D 1 到平面A 1 BC 1 的距离  ∴ d= | n ? D 1 A 1 | | n | = 12 61 61 ．