Question

如图，四面体ABCD中，O、E分别为BD、BC的中点，且CA=CB=CD=BD=2，AB=AD= 2 ．（1）求证：A

如图，四面体ABCD中，O、E分别为BD、BC的中点，且CA=CB=CD=BD=2，AB=AD= 2 ．（1）求证：AO⊥平面BCD；（2）求异面直线AB与CD所成角的余弦值．

Answer 1

（1）证明：△ABD中 ∵AB=AD= 2 ，O是BD中点，BD=2 ∴AO⊥BD且 AO= A B 2 -B O 2 =1 △BCD中，连结OC∵BC=DC=2 ∴CO⊥BD且 CO= B C 2 -B O 2 = 3 △AOC中AO=1，CO= 3 ，AC=2 ∴AO 2 +CO 2 =AC 2 故AO⊥CO ∴AO⊥平面BCD （2）取AC中点F，连结OF、OE、EF △ABC中E、F分别为BC、AC中点 ∴EF ∥ AB，且 EF= 1 2 AB= 2 2 △BCD中O、E分别为BD、BC中点 ∴OE ∥ CD且 OE= 1 2 CD=1 ∴异面直线AB与CD所成角等于∠OEF（或其补角） 又OF是Rt△AOC斜边上的中线 ∴ OF= 1 2 AC=1 ∴等腰△OEF中 cos∠OEF= 1 2 EF OE = 2 4 ．