已知函数 ，且在 时函数取得极值.（1）求 的单调增区间；（2）若 ，（Ⅰ）证明：
已知函数，且在时函数取得极值.（1）求的单调增区间；（2）若，（Ⅰ）证明：当时，的图象恒在的上方；（Ⅱ）证明不等式恒成立....
已知函数 ，且在 时函数取得极值.（1）求 的单调增区间；（2）若 ，（Ⅰ）证明：当 时， 的图象恒在 的上方；（Ⅱ）证明不等式 恒成立.
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| 已知函数  ，且在 时函数取得极值.（1）求  的单调增区间；（2）若  ，（Ⅰ）证明：当  时， 的图象恒在 的上方；（Ⅱ）证明不等式  恒成立. |
| （1）函数 的单调增区间为 和 ；（2）详见解析. |
| 试题分析：（1）先利用函数 在 处取得极值，由 求出 的值，进而求出 的解析式，解不等式 ，从而得出函数 的单调增区间；（2）（Ⅰ）构造新函数 ，利用导数证明不等式 在区间 上成立，从而说明当 时， 的图象恒在 的上方；（Ⅱ）由（Ⅰ）中的结论证明当  时， ，由此得到 ， ， ， ，结合累加法得到 ，再进行放缩得到  ，从而证明 .试题解析：（1）  ， ，函数 的定义域为 ，由于函数 在 处取得极值，则 ， ，解不等式 ，得 或 ，故函数 的单调增区间为 和 ；（2）（Ⅰ）构造函数  ，其中 ， ，故函数 在区间 上单调递减，则对任意 ，则
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