Question

设η1与η2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同解（A是m×n矩阵），ξ是对应的齐次线性方程组Ax=0的非零解

设η1与η2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同解（A是m×n矩阵），ξ是对应的齐次线性方程组Ax=0的非零解，证明：（1）向量组η1，η1-η2线性无关；（2）若秩r（A）=n-1，则向量组ξ，η1，η2线性相关．

Answer 1

证明：（1）设k₁η₁+k₂（η₁-η₂）=0，则
k₁Aη₁+k₂A（η₁-η₂）=0
已知η₁与η₂是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同解，因此
Aη₁=Aη₂=b
∴k₁b=0
而b≠0
∴k₁=0
∴k₂（η₁-η₂）=0
又η₁与η₂是互不相同的，即η₁-η₂≠0
∴k₂=0
∴向量组η₁，η₁-η₂线性无关
（2）由秩r（A）=n-1，知Ax=0的基础解系只含有一个解向量
∴ξ是Ax=0的一个基础解系
又η₁-η₂是Ax=0的一个非零解
∴ξ、η₁-η₂线性相关，即存在数k，使得η₁-η₂=kξ
∴kξ+η₁-η₂=0
即向量组ξ，η₁，η₂线性相关