Question

已知A，B分别是椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右顶点，点D(1，32)在椭圆C上，且直线D与直线DB的斜

已知A，B分别是椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右顶点，点D(1，32)在椭圆C上，且直线D与直线DB的斜率之积为-b24．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）如图，已知P，Q是椭圆C上不同于顶点的两点，直线AP与QB交于点M，直线PB与AQ交于点N．若弦PQ过椭圆的右焦点F2，求直线MN的方程．

Answer 1

（1）∵点D(1，

3

2

)在椭圆C上，
∴

1

a2

+

9 4

b2

＝1，
又直线DA与直线DB的斜率之积为-

b2

4

，
∴

3 2

1+a

?

3 2

1?a

=

9 4

1?a2

=-

b2

4

，
解得a²=4，b²=3，
∴椭圆C的方程为：

x2

4

+

y2

3

＝1．
（2）设PQ：x=ty+1，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
联立

x＝ty+1 x2 4 + y2 3 ＝1

，得（3t²+4）y²+6ty-9=0，
∴y1+y2＝

?6t

3t2+4

，y1y2＝

?9

3t2+4

，
∴直线AP的直线方程为x＝

x1+2

y1

y?2，
BQ的直线方程为x＝

x2?2

y2

y+2，
联立，解得x_M=4，同理，x_N=4，
∴直线MN的方程为x=4．