Question

已知抛物线C：y2=4x焦点为F，过F的直线交抛物线C于A，B两点，l1、l2分别过点A、B且与抛物线C相切，P为l1

已知抛物线C：y2=4x焦点为F，过F的直线交抛物线C于A，B两点，l1、l2分别过点A、B且与抛物线C相切，P为l1、l2的交点．（1）求证：动点P在一条定直线上，并求此直线方程；（2）设C、D为直线l1、l2与直线x=4的交点，△PCD面积为S1，△PAB面积为S2，求S1S2的取值范围．

Answer 1

（1）设A（

y12

4

，y₁），B（

y22

4

，y2）（y₁＞0＞y₂），
易知l₁斜率存在，设为k₁，则l₁方程为y-y₁=k1(x?

y12

4

)，
由

y?y1＝k1(x? y12 4 ) y2＝4x

，得k1y2?4y+4y1?k1y12=0，
由直线l₁与抛物线C相切，知△=16-4k1(4y1?k1y12)=0，
于是，k1＝

2

y1

，l₁方程为y=

2

y1

x+

1

2

y1，
同理l₂方程为y=

2

y2

x+

1

2

y2，
联立l₁、l₂方程可得点P坐标为P（

y1y2

4

，

y1+y2

2

），
设直线AB的方程为x=ty+1，与抛物线方程联立得y²-4ty-4=0．
y₁+y₂=4t，y₁y₂=-4，则xP＝

y1y2

4

=-1，
∴点P定在直线x=-1上．
（2）由（1）知，C、D的坐标分别为C(4 ， 

8

y1

+

1

2

y1)、D(4 ， 

8

y2

+

1

2

y2)．
∴| CD |＝|  (

8

y1

+

1

2

y1)?(

8

y2

+

1

2

y2) |＝| 

(y1y2?16)(y1?y2)

2y1y2

 |．
∴S₁=S△PCD＝

1

2

| 4?

y1y2

4

 |?| 

(y1y2?16)(y1?y2)

2y1y2

 |=

25

4

|y1?y2|，
S2＝S△PAB＝

1

2

|?2?2t2|

1+t2

?

1+t2

|y1?y2|，

S1

S2

=

25

4(1+t2)

∈(0，

25

4

]．