Question

已知函数，y=f（x）=-x3+ax2+b（a，b∈R）（Ⅰ）要使f（x）在（0，1）上单调递增，求a的取值范围；（Ⅱ）

已知函数，y=f（x）=-x3+ax2+b（a，b∈R）（Ⅰ）要使f（x）在（0，1）上单调递增，求a的取值范围；（Ⅱ）当a＞0时，若函数f（x）的极小值和极大值分别为1、3127，试求函数y=f（x）的解析式；（Ⅲ）若x∈[0，1]时，y=f（x）图象上任意一点处的切线倾斜角为θ，当0≤θ≤π4．时，求a的取值范围．

Answer 1

（I）f′（x）=-3x²+2ax，
由题设，当x∈（0，1）时，f′（a）＞0恒成立，
即-3x²+2ax＞0恒成立，
∴a＞

3

2

x恒成立，
∴a≥

3

2

（II）由（I）得，令f′（x）=-3x²+2ax=0
则x=0，或x=

2a

3

又∵a＞0时，函数f（x）的极小值和极大值分别为1、

31

27

，
故f（0）=1，f（

2a

3

）=

31

27

解得a=1，b=1
∴f（x）=-x³+x²+1
（III）当x∈[0，1]时，tanθ=f′（x）=-3xh3+2ax
∵θ∈[0，

π

4

]．∴0≤f'（x）≤1．
∴0≤-3x²+2ax≤1
在x∈[0，1]恒成立，由（1）知，当-3x²+2ax≥0时，a≥

3

2

，
由 ?3x2+2ax≥0?a≤

1

2

(3x+

1

x

)恒成立，
又

1

2

(3x+

1

x

)min＝

3

，∴a≤

3

∴

3

2

≤a≤

3