Question

如图所示，半径为l4、质量为m的小球用两根不可伸长的轻绳a、b连接，两轻绳的另一端系在一根竖直杆的A、B

如图所示，半径为l4、质量为m的小球用两根不可伸长的轻绳a、b连接，两轻绳的另一端系在一根竖直杆的A、B两点上，A、B两点相距为l，当两轻绳伸直后，A、B两点到球心的距离均为l．当竖直杆以自己为轴转动并达到稳定时（细绳a、b与杆在同一竖直平面内）．求：（1）竖直杆角速度ω为多大时，小球恰离开竖直杆？（2）轻绳a的张力Fa与竖直杆转动的角速度ω之间的关系．

Answer 1

（1）小球恰离开竖直杆时，小球与竖直杆间的作用力为零，此时轻绳a与竖直杆间的夹角为α，由题意可知：sinα＝

1

4

水平方向：F_asinα=mω²r
竖直方向：F_acosα=mg
联立解得：ω²=

4

15

g

l

故ω=

4g 15 l

（2）由（1）可知0≤ω²≤

4

15

g

l

时，F_a=

4

15

mg
若角速度ω再增大，小球将离开竖直杆，在轻绳b恰伸直前，设轻绳a与竖直杆的夹角为β，此时小球做圆周运动的半径为r=lsinβ
水平方向：Fasinβ＝mω2r
竖直方向：F_acosβ=mg
联立解得：Fa＝mω2l
当轻绳恰升直时，β=60°，此时ω=

2g l

固有Fa＝mω2l，此时

4

15

g

l

≤ω2≤

2g

l

若角速度ω再增大，轻绳b拉直后，小球做圆周运动的半径为r=lsin60°
水平方向：Fasin60°+Fbsin60°＝mω2r
竖直方向：F_acos60°=F_bcos60°+mg
联立解得：Fa＝

1

2

mlω2+mg，此时ω²≥

2g

l

答：（1）竖直杆角速度ω为

4g 15 l

时，小球恰离开竖直杆；
（2）轻绳a的张力F_a与竖直杆转动的角速度ω之间的关系为：
①0≤ω²≤

4

15

g

l

时，F_a=

4

15

mg；
②

4

15

g

l

≤ω2≤

2g

l

时，Fa＝mω2l；
③ω²≥

2g

l

时，Fa＝

1

2

mlω2+mg．