Question

如图，AB是⊙O的直径，动弦CD垂直AB于点E，过点B作直线BF∥CD交AD的延长线于点F，若AB=10cm．（1）求证：

如图，AB是⊙O的直径，动弦CD垂直AB于点E，过点B作直线BF∥CD交AD的延长线于点F，若AB=10cm．（1）求证：BF是⊙O的切线．（2）若AD=8cm，求BE的长．（3）若四边形CBFD为平行四边形，则四边形ACBD为何种四边形？并说明理由．

Answer 1

解：（1）∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，BF∥CD， ∴BF⊥AB，即BF是⊙O的切线； （2）如图1，连接BD． ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角）； 又∵DE⊥AB ∴AD 2 =AE×AB； ∵AD=8cm，AB=10cm，AE=6.4cm， ∴BE=AB﹣AE=3.6cm； （3）连接BC．四边形CBFD为平行四边形，则四边形ACBD是正方形．理由如下： ∵四边形CBFD为平行四边形， ∴BC∥FD，即BC∥AD； ∴∠BCD=∠ADC（两直线平行，内错角相等）， ∵∠BCD=∠BAD，∠CAB=∠CDB，（同弧所对的圆周角相等）， ∴∠CAB+∠BAD=∠CDB+∠ADC，即∠CAD=∠BDA； 又∵∠BDA=90°（直径所对的圆周角是直角）， ∴∠CAD=∠BDA=90°， ∴CD是⊙O的直径，即点E与点O重合（或线段CD过圆心O），如图2， 在△OBC和△ODA中，∵ ， ∴△OBC≌△ODA（SAS）， ∴BC=DA（全等三角形的对应边相等）， ∴四边形ACBD是平行四边形（对边平行且相等的四边形是平行四边形）； ∵∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），AC=AD， ∴四边形ACBD是正方形．