Question

.如图（1），直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x 2 +bx+c与x轴的另一个交点

.如图（1），直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x 2 +bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P。 （1）求该抛物线的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C、P、M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连结AC，在x轴上是否存在点Q，使以P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（4）当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值。（图（2）、图（3）供画图探究）

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Answer 1

解：（1）由已知，得B（3，0），C（0，3）， ∴ 解得 ∴抛物线解析式为y=x 2 -4x+3； （2）∵y=x 2 -4x+3=（x-2） 2 -1， ∴对称轴为x=2，顶点坐标为P（2，-1）， ∴满足条件的点M分别为M 1 （2，7），M 2 （2，2 -1），M 3 ，M4（2，-2 -1）； （3）由（1），得A（1，0），连接BP， ∵∠CBA=∠ABP=45°， ∴当 时，△ABC∽△PBQ， ∴BQ=3， ∴Q 1 （0，0）， ∴当 时，△ABC∽△QBP， ∴BQ= ， ∴Q 2 ； （4）当0＜x＜3时， 在此抛物线上任取一点E连接CE、BE， 经过点E作x轴的垂线FE，交直线BC于点F， 设点F（x，-x+3），点E（x，x 2 -4x+3）， ∴EF=-x 2 +3x， ∴S △CBE =S △CEF +S △BEF = EF·OB=- x 2 + x= ， ∵a=- ＜0， ∴当x= 时，S △CBE 有最大值， ∴y=x 2 -4x+3=- ， ∴E 。