Question

若二次函数y=a1x2+b1x+c1的图象记为C1，其顶点为A，二次函数y=a2x2+b2x+c2的图象记为C2，其顶点为B，且满

若二次函数y=a1x2+b1x+c1的图象记为C1，其顶点为A，二次函数y=a2x2+b2x+c2的图象记为C2，其顶点为B，且满足点A在C2上，点B在C1上，则称这两个二次函数互为“伴侣二次函数”．（1）一个二次函数的“伴侣二次函数”有______个；（2）①求二次函数y=x2+3x+2与x轴的交点；②求以上述交点为顶点的二次函数y=x2+3x+2的“伴侣二次函数”．（3）试探究a1与a2满足的数量关系．

Answer 1

（1）无数；                                                          
（2）①令y=0，即x²+3x+2=0．
解得：x₁=-1，x₂=-2．
∴二次函数y=x²+3x+2与x轴的交点坐标为（-2，0），（-1，0）．  （3分）
②∵y=x²+3x+2=（x+

3

2

）²-

1

4

∴顶点坐标为（-

3

2

，-

1

4

）．
设以（-2，0）为顶点且经过（-

3

2

，-

1

4

）的抛物线的函数关系式为
y=a（x+2）²，
将x=-

3

2

，y=-

1

4

代入y=a（x+2）²得 a=-1．
∴二次函数y=x²+3x+2的一个“伴侣二次函数”为
y=-（x+2）²=-x²-4x-4，
同理可求以（-1，0）为顶点且经过（-

3

2

，-

1

4

）的抛物线的函数关系式．
即二次函数y=x²+3x+2的另一个“伴侣二次函数”为
y=-（x+1）²=-x²-2x-1；                                       
（3）设y=a₁（x+m）²+n，其顶点为（-m，n）；
y=a₂（x+h）²+k，其顶点为（-h，k）．
根据“伴侣二次函数”定义可得

k＝a1(?h+m)2+n n＝a2(?m+h)2+k

∴a₁（-h+m）²=-a₂（-m+h）²．
当-h≠m时，a₁=-a₂
当-h=m时，a₁、a₂为任意不为零的实数．