Question

如图，AB是圆O的直径，P为圆外一点，PB是圆O的切线，PA是圆O的割线且与圆O相交于点C．过点C作圆O的切线与

如图，AB是圆O的直径，P为圆外一点，PB是圆O的切线，PA是圆O的割线且与圆O相交于点C．过点C作圆O的切线与PB交于D点．求证：（1）OD∥AP；（2）PD?PB=PC?OD．

Answer 1

证明：（1）连接OC，BC，
在△OCD和△OBD中
∠OCD=∠OBD=90°，

OB=OC，OD=OD，
∴直角△OCD≌直角△OBD，
∴∠BOD=∠COD=

1

2

∠BOC．①
又∠BOC与∠BAC分别是

BC

所对的圆心角和圆周角
∴

1

2

∠BOC=∠BAC，②
由①②得∠BOD=∠BAC，
∴OD∥AP．
（2）∵PB²=PC?PA，③
由（1）知OD∥AP，O为AB中点，
∴DO是△BPA的中位线，
∴PA=2OD，PB=2PD，代入③得
2PD?PB=PC?2OD，
即PD?PB=PC?OD．