Question

已知函数f（x）=2|x+1|-|x-3|（1）求不等式f（x）≥5的解集；（2）当x∈[-2，2]时，关于x的不等式f（x）-

已知函数f（x）=2|x+1|-|x-3|（1）求不等式f（x）≥5的解集；（2）当x∈[-2，2]时，关于x的不等式f（x）-|2t-3|≥0有解，求实数t的取值范围．

Answer 1

（1）f（x）=2|x+1|-|x-3|=

x+5 ，x≥3 3x?1 ，?1＜x＜3 ?x?5  ，x≤?1

，由式f（x）≥5，可得

x+5≥5 x≥3

 ①，或 

3x?1≥5 ?1＜x＜3

 ②，或

?x?5≥5 x≤?1

．
解①求得x≥3，解②求得 2≤x＜3，解③求得 x≤-10．
故不等式的解集为[2，+∞）∪（-∞，-10]．
（2）当x∈[-2，2]时，f（x）∈[-4，5]，∵关于x的不等式f（x）-|2t-3|≥0有解，
∴5-|2t-3|≥0，即-5≤2t-3≤5，求得-1≤t≤4，
故t的范围为[-1，4]．