Question

如图所示，AD⊥平面ABC，CE⊥平面ABC，AC=AD=AB=1，BC＝2，CE=2，F为BC的中点．（Ⅰ）求证：AF∥平面BDE

如图所示，AD⊥平面ABC，CE⊥平面ABC，AC=AD=AB=1，BC＝2，CE=2，F为BC的中点．（Ⅰ）求证：AF∥平面BDE；（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面BCE．（Ⅲ）求凸多面体ABCED的体积．

Answer 1

见下图,建立以A为原点的直角坐标系。依题意：坐标点B(1,0,0), C(0,1,0),D(0,0,1),E(0.1,2); 

(1)证明: 因为：AB=AC，所以△ABC是等腰三角形，又因为F是BC的中点，所以，AF是△ABC底边上的高；所以AF⊥BC，因为EC⊥面ABC，AF∈面ABC，所以AF⊥CE，所以AF⊥面BCE（直线垂直于平面内两条相交直线，则垂直于这两条直线所组成的平面）。（2）证明：BD={-1,0,1}, DE={0,1,1}; BC={-1,1,0}, CE={0,0,2}; 面BDE的法向量为n1，则n1=BDxDE={-1,0,1}x{0,1,1}={0*1-1*1, 1*0-(-1)*1,(-1)*1-0*0}={-1,1,-1}; 面BCE的法向量为n2, n2=BCxCE=BC={-1,1,0}x{0,0,2}={2,2,0};

n1·n2={-1,1,-1}·{2,2,0}=(-1)*2+1*2+(-1)*0=-2+2+0=0;所以n1⊥n2;平面BDE⊥平面BCE。

(3)凸多面体ABCED的体积:V=(1/3)AB*SACED=(1/6)*1*(AD+CE)*AC/2=(1/6)*(1+2)*1 =1/2。

Answer 2

证明：（Ⅰ）作BE的中点G，连接GF，GD，∴GF为三角形BCE的中位线，
∴GF∥EC∥DA，GF＝

1

2

CE＝DA，…（5分）
∴四边形GFAD为平行四边形，
∴AF∥GD，又GD?平面BDE，∴AF∥平面BDE．…（7分）
（Ⅱ）∵AB=AC，F为BC的中点，
∴AF⊥BC，又GF⊥AF，∴AF⊥平面BCE，…（10分）
∵AF∥GD，∴GD⊥平面BCE，又GD?平面BDE，
∴平面BDE⊥平面BCE．       …（12分）
（Ⅲ）∵AD⊥平面ABC，CE⊥平面ABC，∴四边形ACED为梯形，且平面ABC⊥平面ACED，∵BC²=AC²+AB²，∴AB⊥AC，…（1分）
∵平面ABC∩平面ACED=AC，∴AB⊥平面ACED，
即AB为四棱锥B-ACED的高，…（2分）
∴VB?ACED＝

1

3

?SACED?AB＝

1

3

×

1

2

×(1+CE)×1×1＝

1

2

Answer 3

(1)设BE中点为G，连接DG、FG。
∵F也为中点 ∴FG//CE,且FG=1/2CE=1
又CE//AD，∴FG//AD，且FG=AD=1，
故，ADGF为平行四边形，∴AF//DG，于是，AF//平面BDE
（2）∵CE⊥平面ABC ∴CE⊥AF ①
又FG//CE，∴FG⊥AF，则ADGF为矩形
故，DG⊥FG
又DG//AF，AF⊥BC，则DG⊥BC ②
由①②知DG⊥平面BCE，
∵DG在平面BDE内，∴平面BDE⊥平面BCE
(3)该多面体是一个以B为顶点的四棱锥，
所给数据有误，若BC=2，则BC=AB+AC=2，这违背了两边之和大于第三边的原理
为了示意解题原理，修正BC为1，
过D作AC垂线交AC与H，容易证得BH为四棱锥的高，而BH=√3/2
Saced=(1+2)*1/2=3/2
故，V=1/3*Saced*BH=1/3*3/2*√3/2=√3/4

Answer 4

解：题目有误，因为AC=AB=1，BC=2
即：ABC三点共线，A点和F点重合。
所以：D点在直线BE上，
所以：不存在平面ABC和平面BDE

Answer 5

(I)取BE中点G,连DG,FG.
F为BC的中点,
∴FG∥=CE/2=1,
AD⊥平面ABC，CE⊥平面ABC,
∴AD∥CE,AD=1,
∴AD∥=FG,
∴DG∥=AF,
∴AF∥平面BDE.
(II)AB=AC,F为BC的中点,
∴AF⊥BC,
CE⊥平面ABC,
∴CE⊥AF,
∴AF⊥平面BCE,
DG∥AF,
∴DG⊥平面BCE,
DG在平面BDE上，
∴平面BDE⊥平面BCE.
(III)BC＝2=AB+AC,题目有误。