Question

已知函数f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0）定义在R上的奇函数，且x=-1时，函数取极值1．（1）求a，b，c的值；（2

已知函数f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0）定义在R上的奇函数，且x=-1时，函数取极值1．（1）求a，b，c的值；（2）若对任意的x1，x2∈[-1，1]，均有|f（x1）-f（x2）|≤s成立，求s的最小值．

Answer 1

（1）∵f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0）是定义R上的奇函数
∴b=0
∴f（x）=ax³+cx，∴f′（x）=3ax²+c
依题意有f′（-1）=0且f（-1）=1
即

3a+c＝0 ?a?c＝1

，解得，a=

1

2

，c=-

3

2

∴f（x）=

1

2

x³+-

3

2

x
（2）f(x)＝

1

2

x3?

3

2

x，f′(x)＝

3

2

x2?

3

2

＝

3

2

(x?1)(x+1)，
x∈（-1，1）时f′（x）＜0，
∴f（x）在x∈[-1，1]上是减函数，
即f（1）≤f（x）≤f（-1），
则|f（x）|≤1，?f_max（x）=1，f_min（x）=-1，
当x₁，x₂∈[-1，1]时，|f（x₁）-f（x₂）|≤|f（x）_max|+|f（x）_min|≤1+1=2
∴|f（x₁）-f（x₂）|≤s中s的最小值为2，
∴s的最小值2．