已知函数f(x)=x2-2x+4(1)作出函数f(x)的图象;(2)指出函数f(x)的单调递增区间,并用单调性的定
已知函数f(x)=x2-2x+4(1)作出函数f(x)的图象;(2)指出函数f(x)的单调递增区间,并用单调性的定义证明;(3)求函数y=f(x),x∈[t,t+1]的最...
已知函数f(x)=x2-2x+4(1)作出函数f(x)的图象;(2)指出函数f(x)的单调递增区间,并用单调性的定义证明;(3)求函数y=f(x),x∈[t,t+1]的最小值.
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解:(1)列表
描点连线图象如图所示,
(2)由图象可知,函数f(x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,∞)上单调递增,
理由如下,设x1,<x2∈((-∞,1),则f(x1)-f(x2)=x12-2x1+4-(x22-2x2+4)=x12-2x1-x22+2x2=(x1+x2)(x1-x2)-2(x1-x2)=(x1-x2)((x1+x2)-2),
∵x1,<x2∈((-∞,1),
∴x1-x2<0,(x1+x2)-2<0,
∴f(x1)-f(x2)>0,
∴函数f(x)在(-∞,0)上单调递减,
同理可证函数f(x)在(1,∞)上单调递增,
(3)当t≥1时,函数f(x)在∈[t,t+1]上单调递增,故f(x)min=f(t)=3t2-2t+4,
当t≤0时,函数f(x)在∈[t,t+1]上单调递减,故f(x)min=f(t+1)=3(t+1)2-2(t+1)+4=3t2+4t+5,
当0<t<1时,f(x)min=f(1)=3,
x | … | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | … |
f(x) | … | 7 | 4 | 3 | 4 | 7 | … |
(2)由图象可知,函数f(x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,∞)上单调递增,
理由如下,设x1,<x2∈((-∞,1),则f(x1)-f(x2)=x12-2x1+4-(x22-2x2+4)=x12-2x1-x22+2x2=(x1+x2)(x1-x2)-2(x1-x2)=(x1-x2)((x1+x2)-2),
∵x1,<x2∈((-∞,1),
∴x1-x2<0,(x1+x2)-2<0,
∴f(x1)-f(x2)>0,
∴函数f(x)在(-∞,0)上单调递减,
同理可证函数f(x)在(1,∞)上单调递增,
(3)当t≥1时,函数f(x)在∈[t,t+1]上单调递增,故f(x)min=f(t)=3t2-2t+4,
当t≤0时,函数f(x)在∈[t,t+1]上单调递减,故f(x)min=f(t+1)=3(t+1)2-2(t+1)+4=3t2+4t+5,
当0<t<1时,f(x)min=f(1)=3,
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