Question

（2012?日照一模）如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都是2，D是侧棱CC1上任意一点，E

（2012?日照一模）如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都是2，D是侧棱CC1上任意一点，E是A1B1的中点．（Ⅰ）求证：A1B1∥平面ABD；（Ⅱ）求证：AB⊥CE；（Ⅲ）求三棱锥C-ABE的体积．

Answer 1

解答：解：（I）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ABB₁A₁是平行四边形
∴A₁B₁∥AB
又∵A₁B₁?平面ABD，AB?平面ABD，
∴A₁B₁∥平面ABD；
（II）取AB中点F，连接EF、CF
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，
∴侧面AA₁B₁B是矩形
∵E、F分别是A₁B₁、AB的中点，∴EF∥AA₁，
∵AA₁⊥平面ABC，AB?平面ABC，∴AA₁⊥AB，可得EF⊥AB，
∵正△ABC中，CF是中线，∴CF⊥AB
∵EF∩CF=F，∴AB⊥平面CEF
∵CE?平面CEF，∴AB⊥CE；
（III）∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁所有棱长都为2
∴三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积V=S_△ABC×AA₁=

3

4

×2²×2=2

3

又∵三棱锥E-ABC与三棱柱ABC-A₁B₁C₁同底等高
∴三棱锥E-ABC的体积V_E-ABC=

1

3

V_ABC-A1B1C1=

2 3

3

因此三棱锥C-ABE的体积V_C-ABE=V_E-ABC=

2 3

3

．